Jak zastosować NAT do domowego routera?

Tak to właśnie działa, nie napisałeś tylko o jaki adres ci chodzi. Bo adres publiczny jest wspólny dla wszystkich, adresy wewnętrzne są różne dla rozróżnienia urządzeń.

Liveboksy można ustawić w bridge, więc NAT niekoniecznie musi być włączony.

 

http://www.mamkomputer.info/nat-translacja-adresow-sieciowych/

Tu masz ładnie opisane.