właśnie jest taka funkcja w Thunderbirdzie dajesz na narzędzia i konfiguracja kont a później dajesz na swoje konto konfiguracja serwera i zaznaczasz pozostaw na serwerze
… w ustawieniach konta zajrzyj do Przekazywanie i POP/IMAP > Pobieranie przez POP: > 2. Gdy wiadomości są pobierane przez POP > ustaw na zachowaj kopię Gmail w folderze odebrane.