Komputer wyłącza się po włożeniu nowego procesora

Jeśli jest dobrze rozprowadzona na CPU i coolerze, to możesz ją zostawić.

Raczej cooler bo z tego co widzę to są oderwane po styku w dwóch zaciskaczach

To nawet nie ma się co zastanawiać, tym sposobem nie ma szans na odpowiedni kontrakt CPU-cooler. Te nóżki są wymienialne, ale to skóra za wyprawę, nie opłaca się.
Kup minimum taki jaki polecił @JNJN.

A polecisz jakiś lepszy ale też by nie był zbyt drogi?

Rozwiązanie uniwersalne to np. takie: https://www.morele.net/chlodzenie-cpu-lc-power-lc-cc-95-414526/
Nieco tańsze, podobne w montażu do obecnego i tylko do Intela: https://www.morele.net/chlodzenie-cpu-arctic-alpine-11-socket-1156-k0906-337885/

A. Chłodzenie CPU SilentiumPC Spartan 3 LT HE1012 jak bardzo by schłodził procesor

Powiem Ci, że w sytuacji kiedy masz uszkodzone obecne chłodzenie, to pewnie każde inne by wystarczyło. Te, co proponujesz jest dobre, uniwersalne ale drogie. A pytałeś o niedrogie.

Bez podkręcania spokojnie zapewni niskie temperatury i wysoką kulturę pracy.

no wiesz dla mnie 60-70 zl za dobre chłodzenie to niska cena. Określeniem drogie mi chodziło by cena nie przekroczyła 100zł
A pasta dołączona do chłodzenia będzie dobrym wyborem czy lepiej kupić inną paste?

Mogę tylko powiedzieć, że ja tę firmową usuwam i stosuję własną https://www.morele.net/cooler-master-pasta-termoprzewodzaca-ic-essential-e1-szara-rg-ice1-tg15-r1-476985/?reviews_page=2

W zestawie ze spartanem jest Pactum PT-1
Pasta ze środka stawki, ale dalece wystarczająca.

Od siebie polecam pastę Arctic MX-2. Jest tania, łatwa w zastosowaniu i ma bardzo dobre parametry pracy.