Wywołując upgrade z terminala, widzę że pakiety jądra są zatrzymane:
Czyżby mint zablokował możliwość ich aktualizowania czy trzeba je apdejtnąć i odblokować (jeśli tak, to jak?) 
Pakiety są zazwyczaj zatrzymywane, kiedy może wystąpić konflikt zależności. Jeżeli bardzo chcesz danego upgrade pakietów, to wykonaj:
# aptitude dist-upgrade
lub apt-get jak wolisz:
# apt-get dist-upgrade
Tak czy siak zostaniesz poproszony o akceptację, więc możesz upewnić się czy coś zostanie usunięte i czy nie nastąpią jakieś problemy z zależnościami.
Ok, zaktualizowałem… Usuwać teraz starego kernela (jeśli tak, to jak jeśli można wiedzieć) 
Jądro, jak każde inne binarki, są zawarte w pakietach i usuwasz je przez aptitude, apt-get, dpkg, czy co tam chcesz.
# aptitude purge (lub remove) nazwa_pakietu
Dla kernela jest to zazwyczaj:
# aptitude purge linux-image-{numerek} linux-headers-{numerek}
gdzie {numerek} to numeracja i nazwnictwo kernela. Aby dowiedzieć jak nazywa się pełna paczka, wpisz:
$ dpkg -l | grep linux-image
To samo powtórz dla “linux-headers”. Pamiętaj tylko aby nie wywalić aktualnego jądra (sprawdź swoje najnowsze poprzez uname -r). Zalecam też zawsze pozostawić sobie jeden kernel awaryjny. Więc jeśli masz dwa, nic nie usuwaj. Jak trzy, usuń najstarszy.
W mincie usuwając linux-image-‘uname -r’ usuwa się również linux-headers