Tak to wygląda:
Drucik, który dociskał baterię, ułamał się.
Trzeba to jakoś naprawić!
Komputer jest stary, z piętnaście lat ma (jak nie więcej).
Najlepiej byłoby takie gniazdko wymienić na nowe. Gdzie tego szukać? Jak to się nazywa? To jakiś rodzaj/model czy cóś?
Wylutuj z jakiejś spalonej płyty. Jeśli masz lutownicę na ciepłe powietrze nic nie powinieneś spalić 
Nie lepiej wziąć kawałek przewodu i po prostu połączyć baterię z tym kawałkiem blaszki który został ?
Próbowałem drucika wsadzić, ale nie chciał wejść. Gniazdko pozostałości blaszki zupełnie pochłonęło 
A lutownicę mam zwykłą, tj. taką z końcówką jak śrubokręt
Weź ją po prostu przyklej i tyle. Chyba że jesteś maniakiem i cię bawi takie coś. To możesz spróbować. Transformatorową raczej popalisz PCB.
Imo grzałkową ma. Zdjęcie powinno być pod mniejszym kątem, nie widać nic pod spodem. Skoro poszła blaszka przyklejenie nic nie da, trzeba doprowadzić minus
Tak jak drobok mówi - prąd musi dojść. A blaszka - swoją drogą - gdzieś się zawieruszyła.
To jak, mogę przelutować gniazdko?
Możesz, tylko jak przegrzejesz może być nie ciekawie 
Powinien być jakiś prześwit, zobacz czy tam jest jakiś kawałek by do niego dolutować 
Kiedyś już próbowałem dolutować, przez co właśnie zatopiłem ten drucik w plastiku 
Ale zapytam się tak przy okazji… czy brak tej baterii może być powodem niewłączania się komputera (tj. zasilacz się kręci ale nie ma żadnej innej reakcji)?
Owszem, tak samo jak spalenie się czegoś na mobo, bądź grafice, czy procu
Raczej gniazdko, akurat jak pękło to przestał działać ;)
To na co mam uważać przy lutowaniu, aby nie przegrzać i niczego nie spalić?
Bateria ma tylko wpływ na ustawienia biosu. Uważaj żeby nie dotknąć innych elementów.