W Googlach pełno tego, ale w słownikach…
Nie ma takiego słowa.
Około 1 450 wyników (0,36 s) 
“Karnister” - Około 123 000 wyników (0,35 s).
1 polubienie
Można to innym (jednym) wyrazem zastąpić?
Możemy „powspółpracować”?
Przedrostek “po” jest nie na miejscu. 
I co z tego wynika?
ma być:
Możemy współpracować?
Niby poprawnie, ale czegoś tu… brak.
Niczego nie brakuje. “Możemy współpracować” jest określeniem jednoznacznym, bez potrzeby rozwinięcia : “razem”, “wspólnie”. Chyba, że dodatkiem będzie “czasem”.
Możemy współpracować. a Możemy współpracować?
Dla mnie w wymowie w zdaniu pytającym, coś tu nie gra.
A pytasz kogoś o to, czy zechce z tobą współpracować? Czy może pytasz o to, czy współpraca jest dopuszczalna?
Raczej o pierwsze.
IMHO, obie formy są porawne.
- Czy chcesz ze mną współpracować? (OK)
- Czy współpraca z tobą jest dopuszczalna? (OK)
Różnią się kontekstem pytania. Pytanie pierwsze to ja się pytam kogoś czy chce ze mną współpracować (to ja składam tutaj ofertę). Pytanie drugie to ja się pytam kogoś czy mogę z nim współpracować i osoba odpowiadająca na to pytanie zgadza się lub nie.
No to wtedy nie jest dziwne, że “możemy współpracować?” brzmi dziwnie, bo brzmi prędzej jak pytanie, czy współpraca jest dopuszczalna. Jak uczniowie w szkole, pytając nauczyciela o pracę w grupach.
Żeby to brzmiało ładnie i jasno - Czy zechcesz ze mną współpracować? Albo nawet - Chcesz ze mną współpracować?
Możemy współpracować?
Z 2 wyrazów robi się 4 albo więcej.
Tak jak w niemieckim dokłada się denn albo mal.
Mało grzeczne. Ton rozkazujący. Krótkie, żołnierskie. Niby pytanie ale z góry zakładające jedną odpowiedź. Wypowiedziane silnym tonem może oznaczać, że oczekujemy wyłącznie potwierdzającej odpowiedzi. Jeżeli chcemy być milsi należy zadać bardziej złożoną formę tego pytania. 
W filmie, każdy robił swoje, aż doszło do spięcia.
I padło pytanie: czy możemy trochę powspółpracować?
FBI i Policja,
Czy Lektor popełnił błąd?
Czytając to w myślach, zrobiłem pauzę przed “powspółpracować” 
Dziwnie to brzmi.
Czy możemy trochę współpracować?
Moim zdaniem popełnił błąd. Jakość tłumaczeń filmów w Polsce jest bardzo dyskusyjna. Wystarczy na ten przykład zapoznać się jak są tłumaczone tytuły zagranicznych filmów.
No dokładnie to sie tak nazywa wolne tłumaczenie a czasem lektor mówi prawie inny tekst niż osoba po angielsku…
I zwykle jest to tak że fabuła tekstowa jest w części pominięta a część trochę zmieniona i odbiega nieznacznie od oryginału…
Dlatego coraz więcej filmów szczególnie seriali oglądam po angielsku.
To jest forma dokonana* czasownika “współpracować”. Będzie ona poprawna ale tylko w niektórych sytuacjach. Podobnie jak z np. drzeć -> podrzeć, uczyć -> pouczyć. To tzw odmiana czasownika przez aspekt
*nazywa czynność (lub stan), która zakończyła się w przeszłości lub zakończy się w przyszłości: np: zrobić, uszczęśliwić, pouczyć, wyjechać, wpisać, przeżyć;