Hej,
Pierwsze co, to sprawdź, czy kabel, którym się łączysz jest sprawny. Podłącz go bezpośrednio do LiveBox’a i sprawdź.
W kwestii samego technicznego podłączenia to faktycznie - do LiveBox’a do gniazdka z czerwonym oznaczeniem, do routera TP Link do złącza niebieskiego.
Szkoda że nie napisałeś o tym nieco wcześniej - tj przed zakupem. Jeśli chodzi o podłączenie komputerów kablowo to nie trzeba było kupować router’a, a zwykły switch. LiveBox ma wbudowany router i podłączając do niego switch’a możliwe jest obsłużenie większej liczby połączeń kablowych.
Ależ oczywiście, że powinno działać. No chyba że dostawca zastosowałby zabezpieczenie polegające na odcinaniu z pakietu po jednym bicie na każdym urządzeniu sieciowym i finalnie do kompa nie dochodziłoby nie; ale z tego, co wiem, to TP SA na razie nie planuje nic takiego… 
Niestety LiveBox nie oferuje takiej funkcjonalności. Obecne w nim logi nie pozwolą stwierdzić, ile stacji roboczych było podpiętych w danym czasie…
Kwestia tak mnie zaciekawiła, że musiałem zrobić test.
W domu komputery mam podłączone do LiveBox’a via WiFi. Wyjątkiem jest tylko drukarka podłączona do PrintServer’a kablowo. W każdym bądź razie po podłączeniu switch’a połączeniem kablowym do LB internet jest - i na komputerze podłączonym przez switch’a, i na komputerze działającym w sieci przez WiFi. Czas więc na zmianę - podłączamy router kablowy Micronet SP888 tak, jak switch’a - z tym wyjątkiem, że kabel podłączamy do portu WAN, a nie do jednego ze złączy switch’a. I jaki rezultat?? I komputer podłączony via WiFi, jak i ten podłączony do routera są podłączone do internetu - żadnych komunikatów o braku łączności czy problemów z wyświetleniem zasobów internetowych. Jak widać bogna2009 wszystko działa tak, jak powinno… 
Wszystko więc technicznie powinno działać, choć zastanawiam się nad tym, czy w sieci nie występuje jakiś problem z adresami IP. Po podłączeniu routera do LiveBox’a i ustawieniu adresu na dynamicznym, router otrzymał adres IP kolejny z puli, czyli 192.168.1.12 (adresy z końcówką 10 i 11 mają dwa pozostałe komputery); oczywiście brama domyślna to 192.168.1.1. Podłączając natomiast komputer do router’a i pozostawiając konfigurację automatyczną otrzymujemy następujące wielkości: IP 192.168.2.4 i brama 192.168.2.1. W obu przypadkach maska podsieci to 255.255.255.0.
Czy w routerze macie możliwość zmiany nadawanych w sieci lokalnej adresów IP??
Czy na wszystkich komputerach ustawione jest automatyczne przydzielanie adresów IP??
Jakie adresy w sieci lokalnej otrzymują i jakie numery bram są widoczne dla komputerów podłączonych do LiveBox’a, a jakie dla tych podłączonych do router’a?? I jakie adres dostaje router od LiveBox’a??
Czyli jednak nie do końca działa. Ale skoro wyłączyłeś DHCP w routerze, to śmiało możesz podłączyć kabel do gniazdka WAN i może zacznie działać tak, jak powinno.
Pozdrawiam,
Dimatheus